到第四章啦，这章比第三章还要难，枯了。
下面我会尽量把向量这一章的内容解释清楚。
1. 概念
1.1 定义
- n个数构成的有序数组称为n维向量。
1.2 表示
列向量可以有转置的写法，比较省空间。
1.3 零向量
如果向量的所有分量都是0，就称它是零向量。
记作
1.4 向量相等
前面第三章矩阵，我们说了矩阵相等的概念。向量可以理解为特殊的矩阵。
所以，向量相等的概念与矩阵相等的概念是一样的。
1.5 运算
P.S. 把向量理解为只有一行或一列的矩阵，则矩阵有的规律，向量也有。
I.向量加法
即对应位置相加，与矩阵相加是一样的。
它的几何意义就是我们熟知的力的合成（对角线法则）。
II.向量数乘
与矩阵数乘也还是一样的（doge），对每一维乘以一个常数。
特别地，常数为0时，
2. 线性表示
2.1 向量线性表示的定义
I.
II.
根据I、II，我们可以得出向量线性表示的定义。
III.例题
已经有了向量线性表示的定义，现在就来实战一下：
用观察法求得系数。
IV. 三种情况
一共有两大种情况，可以线性表示与不能线性表示。可以线性表示又分两种情况，有唯一表示和无穷表示。所以一共是三种情况。
- 不能线性表示
- 唯一线性表示
- 无穷线性表示
2.2 向量线性表示的方法论
我们可以看到，上面用了观察法求得向量的系数。显然是行不通的，数据不可能都这么简单。2.2中，我们要做的就是找出求解表示系数的方法。
2.2.1 定理
这是把我们2.1的定义浓缩了一下，变为简洁的数学表达。
2.2.2 引例
接下来通过一个栗子，把我们之前学习求方程组的解与求线性表示系数联系到一起。
首先，我们依据定义，写出对应的表达式：
将表达式展开，依据向量相等的定义，我们得到非齐次方程组。
先说结论：
如果方程组无解，说明得不到一组k值使得能够被线性表示。
如果方程组有唯一解，说明只有一组k值使得能够被线性表示。
如果方程组有无穷解，说明有无穷组k值使得能够被线性表示。
与2.1的三种情况是对应的。
将方程组写成矩阵的形式，化简，求解。
最后该题的答案是无穷解，并得出了表达式。
2.3 向量线性表示的题型
题型1：确定能否线性表示
由引例，我们可以知道，能够进行线性表示的前提是方程组有解。
方程组有解我们有两条路可以走：
1.克拉默法则
适用于未知数个数与方程数相等的情况（行列式）。可以通过直接求解系数行列式，如果D的值不等于0，说明有唯一解。否则，根据矩阵的秩确定是无解或是无穷解。
2.矩阵（推荐）
写出增广矩阵，化简到最后。如果有解（系数行列式的秩等于增广矩阵的秩），说明可以进行线性表示。否则，是不能进行线性表示的。
题型2 ：已知可以线性表示，求系数
我们使用矩阵法，去解方程组。
写出增广矩阵，化简到最后。如果秩小于未知数个数，有无穷解，说明有无穷个线性表示的方法；否则，只有唯一一种表示方法。
例子：
2.4 向量组线性表示
2.4.1 定义
我们上面说了向量线性表示的定义，现在将向量拓展到向量组。
其实很简单，把向量组中的每个向量应用一遍向量线性表示的定义，如果都符合，那就满足向量组的线性表示。原来是1toN的关系，现在是NtoN的关系。
如果互相都能线性表示，则说明它们等价。
来看两道例题：
注意：向量的等价与其组成的矩阵的等价没有必然联系！
性质：向量组线性表示具有传递性。
2.4.2 定理
简单证明如下：
推论：
来个栗子~
3. 线性相关、无关
3.1 定义
如果都为0，说明这些向量线性无关，否则说明这些向量线性相关。
特别地，
1.如果一个向量组中含有零向量，则向量组必线性相关。
2.如果一个向量组中有两个向量各分量都成比例（向量共线），则向量组必线性相关。
几何意义
线性相关
- 二维向量共线、三维向量共面
- 零向量与其他向量都共线
- 零向量与其他向量一定相关
线性无关
- 向量相互垂直
例题
下面看几题例题，直观感受一下求解过程。
可以看到，我们只能用观察法求解，效率低下。现在，我们也要将求解系数总结为方法论。
3.2 方法论
引例
与之前一样，我们通过引例来总结方法论。
根据定义，我们写出对应形式，再根据向量相等的定义，展开为齐次方程组：
将齐次方程组中的系数矩阵写出来：
因为矩阵的秩小于未知数的个数，所以有非零解；即线性相关。
方法论
首先，根据定义写出齐次方程组。
接着，我们就要判断是有无非零解。
当方程个数与未知数个数相等的时候，用克拉默法则。如果D=0，说明有非零解， 线性相关；否则线性相关。
也可以使用矩阵求解齐次方程组，如果秩小于未知数个数，说明有非零解，线性相关；否则线性无关。
P.S.判断向量线性相关时，一定要转换为列向量。即使题目给的是判断行向量的线性相关。
3.3 定理
3.3.1 定理1
警惕：
并不一定能被线性表示。三个向量中至少有一个可以被表示，并不知道是哪个。这个因果关系是不对的。
3.3.2 定理2
反证法可以证明这个定理。
3.3.3 定理3
推论：
用途：判断向量个数
3.3.4 推论1
如果原方程组有非零解，现在添加未知数，那么现在这个方程组还是有非零解。
因为添加后，解依然还是要满足原来的方程组。
子集合相关 整体相关。
3.3.5 推论2
如果原方程组只有零解，现在添加方程个数，那么新方程组依然只有零解。
因为添加后，解依然还是要满足原来的方程组。
低维无关，高维必无关。
3.4 线性无关的证明题
使用定义：
例1：
4. 向量组的秩
我们前面也提到了矩阵的秩，事实证明，向量组的秩和矩阵的秩是有一定关系的。我们研究向量组的秩，是为了更好表述无穷解时的情况。
为了引入向量组的秩，我们先引入极大线性无关组的概念。
4.1 极大线性无关组
定义
极大线性无关组很重要，不仅关系到秩，还关系到后面的向量空间。
等价定义：
简单来说，就是从一个向量组中取出s个向量，这s个向量是线性无关的。且再从向量组中取一个向量组成s+1个向量，这s+1个向量是线性相关的。这时候我们就称前面的s个向量是极大线性无关组，极大体现在，无关体现在这s个向量是线性无关的。
注意点
1.极大线性无关组的s个成员不唯一，但一定有s个成员。
来源于定理：
2.
3.如果向量组本身线性无关，则这个向量组本身就是自己的极大线性无关组。
求解方法
见4.2
4.2 向量组的秩
定义
说白了，4.1求的极大线性无关组中的s（也就是成员数）就是向量组的秩。
例子
向量组的秩为2。
4.3 补充定理
定理1
这个定理用人话说就是，一个矩阵通过初等变换到另一矩阵，保持了相同的线性相关性，可以用相同的线性表示。而初等行变换在这里使用P矩阵代替了，只要P矩阵可逆，这个定理就成立。
定理2：三秩相等
这个定理将矩阵的秩与向量组的秩关联在一起，矩阵的秩等于行向量组的秩，也等于列向量组的秩。
定理3
子集的秩一定小于等于整体的秩。
定理4
与2.4.2相同。
4.4 求秩与极大线性无关组
引例
一般来说，求秩与求极大线性无关组是捆绑在一起考的。
根据定理2，我们把列向量组成矩阵，秩不变。
根据定理1，我们将矩阵进行初等行变换，并变为最简形（可选）。
这时，我们看着右边的矩阵，很轻易的就可以观察出秩与极大线性无关组。观察得出线性无关（不唯一），由定理1，线性无关。矩阵的秩为3，则矩阵的秩也为3。
最后，用极大线性无关组去表示剩余向量。这个也是用矩阵来做，但是答案要写成矩阵的形式。同样由定理1可知。
方法论
首先，把向量恢复成矩阵A。（定理2）
接着，将矩阵A进行初等行变换，变为简单的矩阵B。（定理1）
用矩阵B求解出秩、极大线性无关组、表示其余向量。下标不变，将B换为A。（定理1）
结束。
5. 基础解系
在引入向量的秩的时候，我们说引入向量的秩是为了更好表述无穷解时的情况。
第5章与第6章就是对秩的应用了，而第5章针对的是齐次方程组，目的：用有限解描述齐次方程组的无穷解。即一个不落的表示无穷解（非零解）。
5.1 齐次方程组解的性质
性质1
常数倍的原解仍是方程组的解。
性质2
常数倍解的线性组合仍是方程组的解。
5.2 补充定理
其实就是运用第四章的内容啦。求解出极大线性无关组，将其余向量用极大线性无关组表示。
5.3 基础解系
定义
由5.2的补充定理，我们很自然的引出了基础解系的定义。其实讲的都是废话= =就是找解集中的极大线性无关组，并用其表示剩余向量，组成的解称为基础解系。
例题1
首先，进行初等行变换。
确定基础解系的向量个数。
赋值。
得到基础解系。（红字的地方说明这两个向量是是线性无关的）
得到通解。
例2
化为阶梯型矩阵，并确定基础解系的向量个数。
赋值。
带回。
方法论
先做初等行变换，变为阶梯型。
接着写出同解方程组，确定极大无关组的个数及成员。
赋值，带回，得到基础解系。
6. 解的结构
第五章是对齐次方程组无穷解的描述，第六章则是对齐次方程组无穷解的描述。
6.1 导出组
定义
首先引入导出组的概念。
简单来说，导出组就是把非齐次方程组的常数项硬改成0了….这样就是齐次方程组。这就是导出组。
性质
1.
2.
6.2 解的结构
定义
简单来说，就是非齐次线性方程组解的结构包括特解与基础解系。特解并不是唯一的，基础解系也不是唯一的。而解怎么求呢？
引例1
首先，将矩阵化为阶梯型，求出基础解系的个数。
写出同解方程，赋值求出特解。
赋值求出基础解系。
将特解加上基础解系就是通解了。
引例2：带参数求通解
1.无解
2.无穷多解
3.唯一解
方法论
其实求非齐次方程组解只比齐次方程组多了一步，就是求特解。其余见第五章。
7. 向量空间
7.1 向量空间的定义
这个概念很抽象…..拿离散数学举个例子，有一种运算叫mod，它不管怎么运算（使用集合内的元素），答案也肯定在集合里。这里的向量空间也是这个意思，向量集合中使用加法、数乘，最后结果还在这个集合中，形成闭包。
例子
7.2 基
定义
有没有一丝熟悉，基不就是极大无关组吗（doge），换了层皮罢了。不过区别还是有的，之前说的极大无关组对于的向量集合而言，是有限个向量；而这里的向量空间V是无限个向量，所取的父集合不太一样。
又来了，维数相当于向量组的秩。
例题
欲验证是基，就需要验证它在向量空间内，且是线性无关的。
化简，得出坐标。
注意，这里向量是三维向量，但是是二维空间。因为只有两个向量。空间维数与向量维数没有关系。
规范正交基
7.3 坐标变换
7.3.1 过渡矩阵
定义
例题
7.3.2 坐标变换公式
定义
例题
