最后一章啦！这一章的内容和前面既独立也不独立，难度还可以。
1. 二次型
1.1 二次型的定义
二次型（quadratic form）：n个变量的二次多项式称为二次型，即在一个多项式中，未知数的个数为任意多个，但每一项的次数都为2的多项式。（来自度娘）
举个例子…
就是未知数的次幂始终是2，这就是二次型。
通过矩阵来研究二次函数（方程），这就是线性代数中二次型的重点。
较为官方的定义：
因为二次函数（方程）的二次部分最重要，为了方便研究，我们把含有 个变量的二次齐次函数：
称为二次型。
1.2 二次型的矩阵表示
我们可以通过矩阵来表示二次型：
更一般的：
可以写成更线代的形式：
所以有下面一一对应的关系：
在线代里面，就是通过一个对称矩阵，去研究某个二次型。
1.3 二次型的秩
对称矩阵A的秩就是二次型的秩。
2. 标准型
2.1 定义
一个只含有平方项的二次型称为标准形。就是二次型中的一种特殊情况。
例如上面这个式子…我们就可以称它是标准型。至于为什么出现了对角矩阵…待会揭秘！
2.2 标准型的几何含义
标准的二次方程在直角坐标系下的图像
如果坐标系是一个直角坐标系，相信大家都知道标准方程的图像:
2.3 为什么需要标准型
- 首先，一个标准的二次方程的图像是容易知道的；
- 其次，利用非退化的线性替换可以将一个未知图像的放到一个坐标系（线性替换矩阵）中，使得图像的方程变成标准形；
- 最后，利用这个方程的标准形的图像便可以得到了原方程的图像。
3. 规范型
3.1 定义
在标准型的基础上，系数只有+1或-1的标准型称作规范形。
3.2 二次型、标准型、规范型的转换
3.2.1 二次型to标准型
法1.配方法
例1.
例2.
tips: 没有平方项的二次型，需要自己制造平方项。
总结：先从x1开始，将带有x1项合并，凑出完全平方公式后；对x2实施同样的操作，直至所有的xn都变为平方项。最后把完全平方的项进行“换元”。
注：最后一步x=cy请看第五章坐标变换。
法2.正交变换法（重要！！）
归为定理：
由上，我们把问题归结为求解A矩阵的特征值与特征向量。
例1
求解特征值
求解特征向量
tips:实对称矩阵不同特征值的特征向量必正交。若特征值相同的情况，特征向量不一定正交。如果是正交的情况（内积为0），则不必做施密特正交化；如果特征向量不正交，则需要做施密特正交化。
单位化
总结：
3.2.2 标准型to规范型
例题
凑出系数即可。
4. 惯性指数与惯性定理
4.1 惯性指数
惯性指数分为正惯性指数与负惯性指数。
计算方式很容易，正惯性指数就是正系数个数，负惯性指数就是负系数个数，仅针对标准型而言。
4.2 惯性定理
用人话说，就是二次型经过不同的坐标变换，得到的系数可能不同，但惯性指数是确定的。即正的有几项，负的有几项，是唯一确定的。
即，标准型可能不同，但规范型一定是唯一的。
几何角度理解惯性定理：
例如，我们取了平面上一个中心在原点的一个椭圆 经过适当的线性替换, 这个椭圆一定可以化为
的形式
从而这个椭圆的规范形为。
注意二次型的标准形不是唯一的，它与所选的坐标变换有关。由之前介绍的标准二次方程在一般坐标系下的图像可知，不论选取哪一个坐标系变为了标准形，椭圆的方程一定为
其中
这时候，再令坐标轴单位做一下伸缩变换，就可以使原图像的方程变为
也就说，一个椭圆的规范形是唯一的。
线性角度理解惯性定理：
因为坐标系的替换也可以理解为一个线性变换。因此，每一个线性替换可以理解为将原来的二次曲线，通过线性替换矩阵所对应的线性变换，变为了一个新的二次曲线。下图为一个椭圆经过不同的线性变换后的图像：
下图为一个双曲线经过不同的线性变换后的图像：
惯性定理，可以理解为任何一个椭圆 / 椭球 / 双曲线…. 在经过一个可逆的线性变换之后依然是一个椭圆 / 椭球 / 双曲线…。
5.坐标变换
5.1 定义
前提：C矩阵可逆
5.2 示例
5.3 合同
定义
矩阵等价、矩阵相似、二次型合同比较
矩阵等价：；同型矩阵而言；一般与初等变换有关；秩是矩阵等价的不变量，两同型矩阵相似的本质是秩相似；
矩阵相似：；针对方阵而言；秩相等为必要条件；本质是二者有相等的不变因子；可看作是同一线性变换在不同基下的矩阵；矩阵相似必等价，但等价不一定相似；
矩阵合同：；针对方阵而言；秩相等为必要条件；本质是秩相等且正惯性指数相等，即标准型相同；可通过二次型的非退化的线性替换来理解；矩阵合同必等价，但等价不一定合同。
性质
判定
根据这个规则，可以判断矩阵是否合同。
6. 正定二次型
6.1 定义
从图像上看，这是正定：
6.2 定理
6.3 判定
法1：转换为标准型，通过等价条件
法2：通过必要条件
对角线上元素都要大于0。
例题
顺序主子式：方阵的k阶顺序主子式是由该方阵的前k行和k列元素组成。
7. 总结
（待续）
部分内容转自：
https://www.zhihu.com/question/38902714/answer/195435181
https://zhuanlan.zhihu.com/p/141824840
李永乐老师的线代教程
感谢！
