快完结了，这应该是倒数第二章。这章内容是特征值与特征向量，和前面的内容还是挺不一样的。前面的内容以解方程组为目的。特征值与特征向量，其实它是有特别的用途的。
在graphics这门课里学习了图形的translate、rotate、scale操作，它们都是通过矩阵来实现的。
所以，矩阵的本质就是是空间的线性变换。
1. 特征值与特征向量
1.1 定义
首先康康定义
从感性上我们理解一下这个公式。
在这次空间变换中，矩阵将特征向量操作之后，还在它原来的直线上，且进行了缩放。而缩放的倍数，就是特征值。
1.2 定理
定理1
对角线和就是特征值和，定义为A矩阵的迹。特征值累乘就是行列式的值，由此还导出A可逆的又一个新充要条件。
定理2
1.3 求解方法
1. 定义法
定义法就是由定义出发，推导出新公式，利用这些公式直接或间接求出特征值与特征向量。
公式1
公式2
公式3
公式4
看一些例题~
2. 间接求解
将定义进行变形，可以间接的求解特征向量。
求解方法：
我们称为特征多项式。
先通过特征多项式求解出特征值（齐次方程组行列式等于0，对应非零解情况，因为特征向量不为零向量）。再对每个特征值求解出对应的特征向量。
下面看几道例题熟悉一下方法~
例1.
tips:为避免三次方程，我们需要消掉关于λ的一行或一列中非0元素，用这一行或一列展开。消去的技巧是，使用带λ的行或列加到另一行或列，如果有两行或两列的λ成比例，且能够使其他元素为0，则可以通过倍加，把这个带λ的项消去。
看这个栗子，第二列的1与第三列的-2可以通过倍加，把-2变为0，同时-4变为2λ-2，这时，2λ-2与λ-1呈倍数关系，又可以倍加消去，最后这一列只剩下λ-1，就用这一列展开，舒适~
对三个特征值分别求出基础解系，得到特征向量
例2
求基础解系时，不一定要化为行最简，灵活把握，计算量最小即可。
例3
重根个数与特征向量个数无必然关系，见例2与例3。这里二重根，但只有一个特征向量，例2的二重根有两个特征向量。特征向量的值小于重根个数，但没有必然的关系。
2. 相似矩阵
2.1 定义
p.s. 一个A矩阵可以和多个矩阵B、C、D….相似
2.2 基本性质
满足自反性，对称性，传递性。传递性常常考证明题，使用对角矩阵作为媒介，间接证明A与B是相似的。
2.3 相似的必要条件
既然是必要条件，说明只有相似的情况下，这些条件才成立。而尽管这些条件全都成立，也不一定相似。
条件
可以看到，它们是不相似的，尽管特征多项式的值相同。
两个矩阵相似，秩相等。
两个矩阵相似，其行列式值相等。
两个矩阵相似，其迹相等。
应用
题目给出矩阵相似时，可以利用相似的必要条件构造方程组，解出参数。
例题：
法1：
法2：
利用两个矩阵的特征值相同。 法3:
3. 相似对角
3.1 定义
简单来说，就是相似矩阵的定义下，如果B矩阵是某一特定对角矩阵，则称A可以相似对角化。
如果求出来了，则其对角线的值就是A的特征值，P的分块列向量是A的特征向量。
3.2 相似对角的充要条件
3.3 相似对角的充分条件
第一条公式补充：如果特征值有重根，则要讨论重根对应的基础解系的个数。如果基础解系的个数等于重根数，则也满足。
3.4 判断是否能相似对角化
引例
第四小题 对称矩阵一定能相似对角化（充分条件2）
方法论
找出特征值，如果个数有n个，则可以相似对角化。如果小于n，则对重根进行检验。如果重根对应的基础解系个数小于重根数，则不可相似对角化。
3.5 定理
定理1
推论：
定理2
定理3
应用
例1
例2
例3
4. 实对称矩阵
4.1 定义
如果有n阶矩阵A，其矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等于其本身（aij=aji），(i,j为元素的脚标），则称A为实对称矩阵。
4.2 定理
定理1
矩阵的特征值有可能是虚数
定理2
区别于一般的矩阵，一般的矩阵特征值不同，对应的特征向量线性无关。而实对称矩阵不同的特征值，对应的特征向量是正交的。正交是线性无关中的一个极端情况。
定理3
实对称矩阵一定可以相似对角化。实对称矩阵一定与对角矩阵相似。
例题
例1
例2
相似对角化的方法
与之前求特征向量不同的是，这里求出的特征向量如果不正交，则需要用施密特正交化将其变形。
5. 总结
（待续）
